Типы функций полезности и их измерение

Wi= maxrij

W1= max {4;2;1;18;1;0}= 182= max {2;0;2;14;0;3}= 143= max {8;2;8;0;8;2}= 8

W4= max {0;14;0;9;510}= 14

Из полученных выбираем минимальное значение

S=min max rij=8

Значит оптимальной по данному критерию является стратегия А3.

4) Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Ha= max {p·minaij + (1-p)·max aij}

p- коэффициент пессимизма, равен 0,2.

H1= 0,2·(-8) + 0,8·7 =4

H2= 0,2·(-4) + 0,8·8 =5,6

H3= 0,2·(-1) + 0,8·10 =7,8

H4= 0,2·(-9) + 0,8·9 =5,4

Ha= max {4;5,6;7,8;5,4}= 7,8.

Следовательно, оптимальная стратегия А3.

5) Критерий Гурвица применительно к матрице рисков.

Критерий Гурвица применительно к матрице рисков имеет вид:

HR= min {p·maxrij + (1-p)·min rij}

p=0,4.1= 0,4·18 + 0,6·0 =7,22= 0,4·14 + 0,6·0 =5,63= 0,4·8 + 0,6·0 =3,24= 0,4·14 + 0,6·0 =5,6R= min {7,2;5,6;3,2;5,6}=3,2/

Следовательно, оптимальная стратегия по данному критерию - А3.

Задача 2

Предположим, что ваша функция полезности определяется логарифмической зависимостью U(W)=ln(W) и вы сталкиваетесь с ситуацией, когда можете с равными шансами выиграть и проиграть 1 тыс. руб.

Сколько вы готовы заплатить, чтобы избежать риска, если текущий уровень вашего благосостояния равен 10 тыс. руб.?

Сколько вы заплатили бы, если бы ваше состояние было 1 млн руб.?

Решение:

а)Текущее благосостояние Wтек=10000 руб.

Путь с вероятностью 0,5 можно выиграть 1000 руб и с вероятностью 0,5 можно проиграть 1000 руб. Таким образом, если игра состоится, то в итоге материальное состояние игрока будет иметь вид:

руб с вероятностью 0,5

руб с вероятностью 0,5

Рассчитаем ожидаемую полезность игры:

Е(U(W))=1/2[(U)11000)+U(9000)]= ½ [ln(11000) + ln(9000)]=9,21 ютиля.

Ожидаемая денежная оценка игры:

E(W)=1/2 (11000+9000) = 10000.

Оценим уровень благосотояния W*, который соответствует ожидаемой полезности игры E(U(W*)):

E(U(W*))=lnW* = 9,21 ютиля,

откуда получаем:

W*=e9.21=9996,6руб.

Следовательно, максимальная сумма, которую готовы заплатить, чтоб избежать риска равна 10000-9996,6 = 3,4 руб.

б)Текущее благосостояние Wтек=1000000 руб.

Путь с вероятностью 0,5 можно выиграть 1000 руб и с вероятностью 0,5 можно проиграть 1000 руб. Таким образом, если игра состоится, то в итоге материальное состояние игрока будет иметь вид:

руб с вероятностью 0,5

руб с вероятностью 0,5

Рассчитаем ожидаемую полезность игры:

Е(U(W))=1/2[(U)1001000)+U(999000)]= ½ [ln(1001000) + ln(999000)]=13,816ютиля.

Ожидаемая денежная оценка игры:

E(W)=1/2 (1001000+999000) = 1000000.

Оценим уровень благосотоянияW*, который соответствует ожидаемой полезности игры E(U(W*)):

E(U(W*))=lnW* = 13,816ютиля,

откуда получаем:

W*=e13,816=1000489,56руб.

Следовательно, максимальная сумма, которую готовы заплатить, чтоб избежать риска равна 1000489,56-1000000 = 489,56 руб.